泰勒公式

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泰勒公式

一

带有佩亚诺型余项的泰勒公式

由微分概念知：

f

在点

0

x

可导，则有

).

(

)

)(

(

)

(

)

(

0

0

0

0

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f















．

即在点

0

x

附近，

用一次多项式

)

)(

(

)

(

0

0

0

x

x

x

f

x

f







逼近函数

)

(

x

f

时，

其误差为

(

0

x

x



)

的高阶无穷小量．

然而在很多场合，

取一次多项式逼近是不够的，

往往需要用二次或高于二

次的多项式去逼近，并要求误差为

n

x

x

))

((

0





，其中

n

为多项式的次数．为此，我们考察

任一

n

次多项式

.

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

0

1

0

n

n

n

x

x

a

x

x

a

x

x

a

a

x

p



















(1) 

逐次求它在点

0

x

处的各阶导数，得到

0

0

)

(

a

x

p

n



，

2

0

!

2

)

(

a

x

p

n





，

n

n

n

a

n

x

p

!

)

(

,

0

)

(





，

即

.

!

)

(

,

!

2

)

(

,

!

1

)

(

),

(

0

)

(

0

2

0

1

0

0

n

x

p

a

x

p

a

x

p

a

x

p

a

n

n

n

n

n

n















由此可见，多项式

)

(

x

p

n

的各项系数由其在点

0

x

的各阶导数值所唯一确定．

对于一般函数

f

，设它在点

0

x

存在直到

n

阶的导数．由这些导数构造一个

n

次多项式