题目内容
如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,PA=2,且平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的正切值;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的正切值.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的正切值;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的正切值.
分析:(I)过点P作PO⊥AB于O,连接OC,可得∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角,从而可求直线PC与平面ABC所成的角的正切值;
(Ⅱ)过C作CD⊥AB于D,过点D作DE⊥PA于E,连接CE,∠CED为二面角B---AP---C的平面角,则可求二面角B-AP-C的正切值.
(Ⅱ)过C作CD⊥AB于D,过点D作DE⊥PA于E,连接CE,∠CED为二面角B---AP---C的平面角,则可求二面角B-AP-C的正切值.
解答:解:(Ⅰ)过点P作PO⊥AB于O,连接OC.
由平面PAB⊥平面ABC,知PO⊥平面ABC,
即∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.…(2分)
因为∠APB=90°,∠PAB=60°,
不妨设PA=2,则OP=
,AO=1,AB=4.
因为AB=BC=CA,所以∠CAB=60°,
所以OC=
=
.
在Rt△OCP中,tan∠OPC=
=
=
.
即直线PC与平面ABC所成的角的正切值为
.…(6分)
(II)过C作CD⊥AB于D,由平面PAB⊥平面ABC,知CD⊥平面PAB.
过点D作DE⊥PA于E,连接CE,据三垂线定理可知CE⊥PA,
所以,∠CED为二面角B---AP---C的平面角.…(9分)
由(1)知AB=4,又∠APB=90°,∠PAB=60°,
所以CD=2
,DE=
.
在Rt△CDE中,tan∠CED=
=
=2
故二面角B-AP-C的正切值为2…(13分)
由平面PAB⊥平面ABC,知PO⊥平面ABC,
即∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.…(2分)
因为∠APB=90°,∠PAB=60°,
不妨设PA=2,则OP=
3 |
因为AB=BC=CA,所以∠CAB=60°,
所以OC=
42+12-2×4×1×
|
13 |
在Rt△OCP中,tan∠OPC=
OP |
OC |
| ||
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| ||
13 |
即直线PC与平面ABC所成的角的正切值为
| ||
13 |
(II)过C作CD⊥AB于D,由平面PAB⊥平面ABC,知CD⊥平面PAB.
过点D作DE⊥PA于E,连接CE,据三垂线定理可知CE⊥PA,
所以,∠CED为二面角B---AP---C的平面角.…(9分)
由(1)知AB=4,又∠APB=90°,∠PAB=60°,
所以CD=2
3 |
3 |
在Rt△CDE中,tan∠CED=
CD |
DE |
2
| ||
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故二面角B-AP-C的正切值为2…(13分)
点评:本题考查线面角,考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.
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